开头描述：
人与人之间的握手，是友谊的象征，是沟通的桥梁。当我们有n个人时，他们相互握手一共会握多少次呢？这个问题看似简单，实则蕴含着数学的智慧。
问题引入
在我们的日常生活中，握手是一种常见的礼仪，尤其是在商务、会议、庆典等场合。假设有n个人，他们相互握手一共会握多少次呢？这个问题在数学上被称为“握手问题”，是组合数学中的一个经典问题。
问题分析
我们来分析一下这个问题。在n个人中，任意两个人之间只能握手一次。假设第一个人与剩下的n-1个人都握手了一次，那么第二个人需要与剩下的n-2个人握手，以此类推。这样，我们可以得到一个递减的序列：n-1, n-2, n-3, ..., 2, 1。
递推关系
为了方便计算，我们可以将这个递减的序列进行累加。即：
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n-1) n / 2
这个公式就是等差数列求和公式，其中n表示数列中的项数。根据这个公式，我们可以得到n个人相互握手一共会握多少次。
实例解析
接下来，我们通过实例来解析这个问题。假设有5个人，他们相互握手一共会握多少次？
根据上面的公式，我们可以计算出：
(5-1) 5 / 2 = 4 5 / 2 = 10
当有5个人时，他们相互握手一共会握10次。
规律
通过上面的分析，我们可以出一个规律：n个人相互握手一共会握(n-1) n / 2次。这个规律适用于任何n个整数的情况。
数学证明
为了验证这个规律的正确性，我们可以进行数学证明。我们假设n个人相互握手一共会握x次。根据上面的递推关系，我们可以得到以下等式：
x = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)
接下来，我们对等式两边同时乘以2，得到：
2x = 2 + 4 + 6 + ... + 2(n-1)
我们将等式两边同时加上n，得到：
2x + n = n + 2 + 4 + 6 + ... + 2(n-1)
由于左边是一个等差数列的和，我们可以将其化简为：
2x + n = n(n+1)
我们将等式两边同时除以2，得到：
x = (n(n+1)) / 2
这与我们之前得到的规律一致，证明了该规律的正确性。
实际应用
握手问题在实际生活中有着广泛的应用。例如，在统计社交网络中的关系时，我们可以利用握手问题来计算人与人之间的互动次数。在组织活动时，我们可以利用握手问题来估算活动所需的时间。
n个人相互握手一共会握(n-1) n / 2次。这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学智慧。通过对这个问题的分析和研究，我们可以更好地理解组合数学的魅力，并在实际生活中发挥其作用。