在这个充满几何魅力的世界里，平面与直线的相遇总是令人着迷。今天，我们就来探讨两个平面相交时产生的直线，以及这条直线与其它元素之间的平行关系。接下来，我们将一步步地推导出这条直线的方程，揭开几何世界的神秘面纱。
两个平面的相交直线和谁平行
当两个平面相交时，它们会形成一条直线。这条直线称为两个平面的交线。现在，让我们思考这样一个问题：这条交线与哪个平面内的直线平行？
实际上，这条交线与任何一个与交线不重合的平面内的直线都平行。这是因为两个平面相交时，它们各自内的直线要么与交线平行，要么与交线重合。如果一条直线与交线不重合，那么它们一定在同一个平面内，且这两条直线不可能相交。这条直线与交线平行。
两个平面相交于一条直线
在日常生活中，我们可以找到许多两个平面相交于一条直线的例子。例如，一把直尺放在桌子上，直尺与桌子形成的两个平面就相交于一条直线。再比如，一个立方体的相邻两个面也相交于一条直线。
两个平面相交于一条直线时，这条直线被称为两个平面的交线。在数学上，我们可以用以下方式描述两个平面相交于一条直线的情况：
设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，那么平面P1和P2相交于一条直线L，且L的方向向量可以表示为n1 × n2，其中“×”表示向量积。
求直线方程
现在，我们已经知道两个平面相交于一条直线，并且这条直线的方向向量可以表示为两个平面的法向量之积。接下来，我们将推导出这条直线的方程。
假设平面P1和P2的方程分别为：
n1·(x-x0, y-y0, z-z0) = 0
n2·(x-x1, y-y1, z-z1) = 0
(x0, y0, z0)和(x1, y1, z1)分别是平面P1和P2上的任意一点，n1和n2分别是平面P1和P2的法向量。
由于直线L在平面P1和P2上，因此直线L上的任意一点(x, y, z)都满足上述两个方程。将这两个方程联立，我们可以得到：
n1·(x-x0, y-y0, z-z0) = 0
n2·(x-x1, y-y1, z-z1) = 0
由于n1和n2不共线，我们可以将上述两个方程转换为向量方程：
n1 × (x-x0, y-y0, z-z0) = 0
n2 × (x-x1, y-y1, z-z1) = 0
将两个向量方程联立，我们可以得到：
(n1 × (x-x0, y-y0, z-z0)) × (n2 × (x-x1, y-y1, z-z1)) = 0
由于向量积满足分配律，我们可以将上式简化为：
(n1 × n2) × ((x-x0, y-y0, z-z0) × (x-x1, y-y1, z-z1)) = 0
设n1 × n2 = d，((x-x0, y-y0, z-z0) × (x-x1, y-y1, z-z1)) = p，则有：
d × p = 0
由于d和p不共线，我们可以得到：
d·p = 0
将d和p的表达式代入上式，我们可以得到：
(n1 × n2)·((x-x0, y-y0, z-z0) × (x-x1, y-y1, z-z1)) = 0
由于向量积满足混合积的性质，我们可以将上式简化为：
[(x-x0, y-y0, z-z0)·(n1 × n2)]·[(x-x1, y-y1, z-z1)·(n1 × n2)] = 0
由于n1 × n2不为零向量，我们可以将上式两边同时除以(n1 × n2)·(n1 × n2)，得到：
[(x-x0, y-y0, z-z0)·(n1 × n2)]·[(x-x1, y-y1, z-z1)·(n1 × n2)] / [(n1 × n2)·(n1 × n2)] = 0
化简上式，我们可以得到直线L的方程：
[(x-x0, y-y0, z-z0)·(n1 × n2)] / [(n1 × n2)·(n1 × n2)] = 0
这就是两个平面相交于一条直线时，这条直线的方程。
我们了解了两个平面相交时产生的直线与其它元素之间的平行关系，并推导出了这条直线的方程。希望本文能够帮助大家更好地理解几何世界的奥秘。在今后的学习和生活中，让我们继续探索这个充满魅力的领域吧！