在我国古代建筑中，工匠们巧妙地运用了数学原理来确保建筑的精准度。而在现代建筑设计中，判断平面与投影面的相互位置、判断平面对投影面的相对位置，以及求平面上点的投影，是基础而重要的数学问题。下面，我们就来探讨这个问题。
平面与投影面的相互位置
1.1 平面与投影面的关系
平面与投影面之间的关系可以分为三种：平行、垂直和倾斜。下面我们分别来介绍这三种关系。
1.2 平行关系
当平面与投影面平行时，平面上的任意一点到投影面的距离相等，平面的投影仍然是一个平面。在这种情况下，我们可以直接将平面上的点投影到投影面上，而不需要进行任何变换。
1.3 垂直关系
当平面与投影面垂直时，平面上的任意一点到投影面的距离相等，且垂直于投影面。在这种情况下，平面的投影将是一个直线，这条直线与投影面相交于平面上的垂足。
1.4 倾斜关系
当平面与投影面倾斜时，平面上的任意一点到投影面的距离不相等，且与投影面不垂直。在这种情况下，平面的投影将是一个斜面，这条斜面与投影面相交于平面上的交点。
判断平面对投影面的相对位置
2.1 判断平面与投影面的相对位置的方法
判断平面对投影面的相对位置，可以通过以下几种方法：
2.2 观察法
通过观察平面与投影面的相对位置，我们可以初步判断它们之间的关系。例如，如果平面与投影面平行，那么它们的投影也是平行的。
2.3 画图法
通过画图，我们可以直观地看出平面与投影面的相对位置。具体步骤如下：
（1）画出投影面和参考平面；
（2）在参考平面上画出要投影的平面；
（3）连接参考平面上的点和平面上的点，画出投影线；
（4）根据投影线与投影面的关系，判断平面与投影面的相对位置。
2.4 计算法
计算法是利用数学公式来判断平面与投影面的相对位置。例如，我们可以通过计算平面与投影面的法线向量之间的夹角来判断它们之间的关系。
求平面上点的其他投影
3.1 点在投影面上的投影
点在投影面上的投影可以通过以下步骤求得：
（1）确定投影面；
（2）找到点在投影面上的垂足；
（3）连接点与垂足，得到投影线；
（4）投影线与投影面的交点即为点的投影。
3.2 点在平行投影面上的投影
点在平行投影面上的投影可以通过以下步骤求得：
（1）确定平行投影面；
（2）找到点在平行投影面上的垂足；
（3）连接点与垂足，得到投影线；
（4）投影线与平行投影面的交点即为点的投影。
3.3 点在倾斜投影面上的投影
点在倾斜投影面上的投影可以通过以下步骤求得：
（1）确定倾斜投影面；
（2）找到点在倾斜投影面上的垂足；
（3）连接点与垂足，得到投影线；
（4）根据投影线与倾斜投影面的关系，判断点的投影位置。
通过以上步骤，我们可以解决判断平面与投影面的相互位置、判断平面对投影面的相对位置，以及求平面上点的投影等问题。这些知识在建筑设计、工程计算等领域有着广泛的应用。希望本文对您有所帮助。